2020年碩士研究生《數(shù)學(xué)(三)》真題
1、
A.bsina
B.bcosa
C.bsinf(a)
D.bcosf(a)
本題答案：
B
B
2、
的第二類(lèi)間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
的第二類(lèi)間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 A.1
B.2
C.3
D.4
本題答案：
C
C
3、設(shè)奇函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則( )．
A.
B.
C.
D.
本題答案：
A
A
4、
A.(-2，6)
B.(-3，1)
C.(-5，3)
D.(-17，15)
本題答案：
B
B
5、設(shè)四階矩陣A=(aij)不可逆，a12的代數(shù)余子式A12≠0，α1，α2，α3，α4為矩陣A的列向量組，A*為A的伴隨矩陣，則方程組A*x=0的通解為( )．
A.x=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)
B.x=k1α1+k2α2+k3α4，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)
C.x=k1α1+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)
D.x=k1α2+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)
本題答案：
C
C
6、設(shè)A為三階矩陣，α1，α2為A的屬于特征值1的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，α3為A的屬于特征值-1的特征向量，則
的可逆矩陣P為
的可逆矩陣P為 A.(α1+α3，α2，-α3)
B.(α1+α2，α2，-α3)
C.(α1+α3，-α3，α2)
D.(α1+α2，-α3，α2)
本題答案：
D
D
7、設(shè)A，B，C為三個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)=P(B)=P(C)=
，P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=
，則A，B，C中恰有一個(gè)事件發(fā)生的概率為()．
，P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=，則A，B，C中恰有一個(gè)事件發(fā)生的概率為()． A.
B.
C.
D.
本題答案：
D
D
8、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布
，下列隨機(jī)變量中服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且與X獨(dú)立的是( )．
，下列隨機(jī)變量中服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且與X獨(dú)立的是( )． A.
B.
C.
D.
本題答案：
C
C
9、
本題答案：
(π-1)dx-dy
【解析】
(π-1)dx-dy
【解析】
10、曲線(xiàn)x+y+e2xy=0在點(diǎn)(0，-1)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____．
本題答案：
y=x-1
【解析】
1+y’+e2xy(2y+2xy')=0，
將x=0，y=-1代入上式得y’=1=k，
故y+1=1(x-0)，即y=x-1．
y=x-1
【解析】
1+y’+e2xy(2y+2xy')=0，
將x=0，y=-1代入上式得y’=1=k，
故y+1=1(x-0)，即y=x-1．
11、設(shè)某工廠(chǎng)生產(chǎn)某產(chǎn)品的產(chǎn)量為Q，成本C(Q)=100+13Q，設(shè)該產(chǎn)品的單價(jià)為P，需求量
，則該工廠(chǎng)取得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量為_(kāi)_____．
，則該工廠(chǎng)取得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量為_(kāi)_____．
本題答案：
8
【解析】
8
【解析】
12、設(shè)平面區(qū)域
，則D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)_____．
，則D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)_____．
本題答案：
π(ln2-
)
π(ln2-
)
13、行列式
______.
______.
本題答案：
a4—4a2
【解析】
a4—4a2
【解析】
14、設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布P{X=k}=
，k=1，2，3，…，Y表示X被3除的余數(shù)，則E(Y)=______．
，k=1，2，3，…，Y表示X被3除的余數(shù)，則E(Y)=______．
本題答案：
【解析】
P{Y=0}=P{X=3k，k=1，2，3，…}，
【解析】
P{Y=0}=P{X=3k，k=1，2，3，…}，
15、
本題答案：
解：
解：
16、求二元函數(shù)f(x，y)=x3+8y3-xy的極值．
本題答案：
解：求一階導(dǎo)數(shù)可得
解：求一階導(dǎo)數(shù)可得
17、已知函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足y”+2y’+5y=0，且f(0)=1,f’(0)=-1．
(I)求f(x)的表達(dá)式；
(Ⅱ)
(I)求f(x)的表達(dá)式；
(Ⅱ)
本題答案：
解：(I)
解：(I)
18、
本題答案：
解：積分區(qū)域D如圖所示．
解：積分區(qū)域D如圖所示．
19、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(0)=f(2)=0，M=max{|f(x)|}，x∈[0，2]，
證明：(I)]ξ∈(0，2)，使得M≤|f’(ξ)|；
(Ⅱ)若
x∈(0，2)，|f'(x)|≤M，則M=0．
證明：(I)]ξ∈(0，2)，使得M≤|f’(ξ)|；
(Ⅱ)若
x∈(0，2)，|f'(x)|≤M，則M=0．
本題答案：
證明：(I)由M=max{|f(x)|}，x∈[0，2]知存在c∈(0，2)，使|f(c)|=M，若c∈(0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，C)，使
(II)若M>0，則c≠0，2．
由f(0)=f(2)=0及羅爾定理知存在η∈(0，2)，使f’(η)=0．
當(dāng)η∈(0，C]時(shí)，
證明：(I)由M=max{|f(x)|}，x∈[0，2]知存在c∈(0，2)，使|f(c)|=M，若c∈(0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，C)，使
(II)若M>0，則c≠0，2．
由f(0)=f(2)=0及羅爾定理知存在η∈(0，2)，使f’(η)=0．
當(dāng)η∈(0，C]時(shí)，
20、
(I)求a，b的值；
(II)求正交矩陣Q．
(I)求a，b的值；
(II)求正交矩陣Q．
本題答案：
解：(1)
解：(1)
21、設(shè)A為二階矩陣，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量．
(I)證明P為可逆矩陣；
(Ⅱ)若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判斷A是否相似于對(duì)角矩陣．
(I)證明P為可逆矩陣；
(Ⅱ)若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判斷A是否相似于對(duì)角矩陣．
本題答案：
解：(I)因?yàn)棣痢?且α不是A的特征向量，所以Aα≠λα，
故α與Aα線(xiàn)性無(wú)關(guān)，
則r(α，Aα)=2，
則P可逆．
(Ⅱ)AP=A(α，Aα)
=(Aα，A2x)
由A2α+Aα-6α=0，
得(A2+A-6E)α=0，
即(A+3E)(A-2E)α=0，
由α≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解，
故|(A+3E)(A-2E)|=0，
得|A+3E|=0或|A-2E|=0，
若|A+3E|≠0，則有(A-2E)α=0，故Aα=2α與題意矛盾，
故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0，
于是A的特征值為λ1=-3，λ2=2．
A有2個(gè)不同特征值，故A可相似對(duì)角化．
解：(I)因?yàn)棣痢?且α不是A的特征向量，所以Aα≠λα，
故α與Aα線(xiàn)性無(wú)關(guān)，
則r(α，Aα)=2，
則P可逆．
(Ⅱ)AP=A(α，Aα)
=(Aα，A2x)
由A2α+Aα-6α=0，
得(A2+A-6E)α=0，
即(A+3E)(A-2E)α=0，
由α≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解，
故|(A+3E)(A-2E)|=0，
得|A+3E|=0或|A-2E|=0，
若|A+3E|≠0，則有(A-2E)α=0，故Aα=2α與題意矛盾，
故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0，
于是A的特征值為λ1=-3，λ2=2．
A有2個(gè)不同特征值，故A可相似對(duì)角化．
22、
(I)求二維隨機(jī)變量(Z1，Z2)的概率分布；
(Ⅱ)求Z1與Z2的相關(guān)系數(shù)
.
(I)求二維隨機(jī)變量(Z1，Z2)的概率分布；
(Ⅱ)求Z1與Z2的相關(guān)系數(shù)
.
本題答案：
解：(I)(X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，
則P{Z1=0，Z2=0}=P{X≤Y，X≤-Y}=
，
P{Z1=0，Z2=1}=P{X≤Y，Y>-X}=
，
P{Z1=1，Z2=0}=P{X>Y，X≤-Y}=0，
P{Z1=1，Z2=1}=P{X>Y，X>-Y}=．
概率分布為
(1I)
解：(I)(X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，
則P{Z1=0，Z2=0}=P{X≤Y，X≤-Y}=
，P{Z1=0，Z2=1}=P{X≤Y，Y>-X}=
，P{Z1=1，Z2=0}=P{X>Y，X≤-Y}=0，
P{Z1=1，Z2=1}=P{X>Y，X>-Y}=
．概率分布為
(1I)
23、設(shè)某種元件的使用壽命T的分布函數(shù)為
其中θ，m為參數(shù)且大于零．
(I)求概率P{T>t}與P{T>s+t|T>s}，其中s>0，t>0；
(Ⅱ)任取n個(gè)這種元件做壽命試驗(yàn)，測(cè)得它們的壽命分別為t1，t2，…，tn，若m已知，求θ的最大似然估計(jì)值
．
其中θ，m為參數(shù)且大于零．(I)求概率P{T>t}與P{T>s+t|T>s}，其中s>0，t>0；
(Ⅱ)任取n個(gè)這種元件做壽命試驗(yàn)，測(cè)得它們的壽命分別為t1，t2，…，tn，若m已知，求θ的最大似然估計(jì)值
．
本題答案：
解：
(I)
解：
(I)