2019年碩士研究生《數(shù)學(xué)(二)》真題
1、當(dāng)x→0時(shí)，x-tanx與xk是同階無(wú)窮小，則k=()．
A.1
B.2
C.3
D.4
本題答案：
C
C
2、y=xsinx+2cosx[x∈(
)]的拐點(diǎn)坐標(biāo)是()．
)]的拐點(diǎn)坐標(biāo)是()． A.(0，2)
B.(π，-2)
C.(
,π/2)
D.
本題答案：
B
B
3、下列反常積分發(fā)散的是()．
A.
B.
C.
D.
本題答案：
D
D
4、已知微分方程
的通解為y=(C1+C2x)e-x+ex，則a，b，c依次為()．
的通解為y=(C1+C2x)e-x+ex，則a，b，c依次為()． A.1，0，1
B.1，0，2
C.2，1，3
D.2，1，4
本題答案：
D
D
5、已知平面區(qū)域
，
，則I1，I2，I3的大小關(guān)系為()。
，，則I1，I2，I3的大小關(guān)系為()。
A.I3＜I2＜I1
B.I2＜I1＜I3
C.I1＜I2＜I3
D.I2＜I3＜I1
本題答案：
A
A
6、已知f(x)，g(x)二階導(dǎo)數(shù)存在且在x=a處連續(xù)，則
是f(x)，g(x)相切于a且曲率相等的()。
是f(x)，g(x)相切于a且曲率相等的()。 A.充分非必要條件
B.充分必要條件
C.必要非充分條件
D.既非充分又非必要條件
本題答案：
A
A
7、設(shè)A是四階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若線性方程Ax=0的基礎(chǔ)解系中只有2個(gè)向量，則A*的秩是()。
A.0
B.1
C.2
D.3
本題答案：
A
A
8、設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，E是三階單位矩陣，若A2+A=2E，且|A|=4，則二次型xTAx的規(guī)范形為()．
A.
B.
C.
D.
本題答案：
C
C
9、
本題答案：
4e2
【解析】
4e2
【解析】
10、
在
對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為_(kāi)______．
在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為_(kāi)______．
本題答案：
【解析】
【解析】
11、設(shè)函數(shù)f(u)可導(dǎo)，
本題答案：
【解析】
【解析】
12、函數(shù)y=lncosx(0≤x<
)的弧長(zhǎng)為（）。
)的弧長(zhǎng)為（）。
本題答案：
【解析】
【解析】
13、已知函數(shù)
本題答案：
【解析】
【解析】
14、
，Aij表示|A|中(i,j)的代數(shù)余子式，則A11-A12=_______．
，Aij表示|A|中(i,j)的代數(shù)余子式，則A11-A12=_______．
本題答案：
-4【解析】
-4【解析】
15、
本題答案：
16、
本題答案：
17、
(I)求y(x)；
(Ⅱ)設(shè)平面區(qū)域D={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤y(x)}，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。
(I)求y(x)；
(Ⅱ)設(shè)平面區(qū)域D={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤y(x)}，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。
本題答案：
18、
本題答案：
(x2+y2)3=y4的極坐標(biāo)方程為r=sin2θ，由對(duì)稱(chēng)性知
(x2+y2)3=y4的極坐標(biāo)方程為r=sin2θ，由對(duì)稱(chēng)性知
19、設(shè)n是正整數(shù)，記Sn為y=e-xsinx(0≤x≤nπ)與x軸所圍圖形的面積，求Sn，并求
．
．
本題答案：
設(shè)區(qū)間[kπ，(k+1)π](k=0，1，2，…，n-1)上所圍的面積記為uk，則
設(shè)區(qū)間[kπ，(k+1)π](k=0，1，2，…，n-1)上所圍的面積記為uk，則
20、已知函數(shù)u(x，y)滿足
，求a，b的值，使得在變換u(x，y)=v(x，y)eax+by之下，上述等式可化為函數(shù)v(x，y)的不含一階偏導(dǎo)數(shù)的等式。
，求a，b的值，使得在變換u(x，y)=v(x，y)eax+by之下，上述等式可化為函數(shù)v(x，y)的不含一階偏導(dǎo)數(shù)的等式。
本題答案：
21、已知函數(shù)f(x)在[0，1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且
，證明：
(I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0；
(Ⅱ)存在η∈(0，1)，使得f”(η)<-2．
，證明：(I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0；
(Ⅱ)存在η∈(0，1)，使得f”(η)<-2．
本題答案：
(I)設(shè)f(x)在ξ處取得最大值，則由條件f(0)=0,f(1)=1，
可知f(ξ)>1，于是0<ξ<1，
由費(fèi)馬引理得f'(ξ)=0．
(II)若不存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2，
則對(duì)任何x∈(0，1)，有f”(x)≥-2，
由拉格朗日中值定理得
f(x)-f(ξ)=f'C．(x-ξ)，C介于x與ξ之間，
不妨設(shè)x<ξ，f'(x)≤-2(x-ξ)，
于是f(ξ)-f(0)<1，即f(ξ)<1，
這與f(ξ)>1相矛盾，故存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2．
(I)設(shè)f(x)在ξ處取得最大值，則由條件f(0)=0,f(1)=1，
可知f(ξ)>1，于是0<ξ<1，
由費(fèi)馬引理得f'(ξ)=0．
(II)若不存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2，
則對(duì)任何x∈(0，1)，有f”(x)≥-2，
由拉格朗日中值定理得
f(x)-f(ξ)=f'C．(x-ξ)，C介于x與ξ之間，
不妨設(shè)x<ξ，f'(x)≤-2(x-ξ)，
于是f(ξ)-f(0)<1，即f(ξ)<1，
這與f(ξ)>1相矛盾，故存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2．
22、
本題答案：
由等價(jià)的定義可知β1，β2，β3都能由α1，α2，α3線性表示，則有
r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)．
對(duì)(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行變換可得：
當(dāng)a=-1時(shí)，有r(α1，α2，α3)當(dāng)a=1時(shí)，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2；
當(dāng)a≠1且a≠-1時(shí)，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3；
則當(dāng)a=1或a≠1且a≠-1時(shí)，β1，β2，β3可由α1，α2，α3線性表示．
此時(shí)，要保證α1，α2，α3可由β1，β2，β3線性表示，
對(duì)(β1，β2，β3，α1，α2，α3)作初等行變換可得
綜上所述，當(dāng)a≠-1時(shí)，向量組α1，α2，α3與向量組β1，β2，β3可相互線性表示．
由等價(jià)的定義可知β1，β2，β3都能由α1，α2，α3線性表示，則有
r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)．
對(duì)(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行變換可得：
當(dāng)a=-1時(shí)，有r(α1，α2，α3)
當(dāng)a≠1且a≠-1時(shí)，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3；
則當(dāng)a=1或a≠1且a≠-1時(shí)，β1，β2，β3可由α1，α2，α3線性表示．
此時(shí)，要保證α1，α2，α3可由β1，β2，β3線性表示，
對(duì)(β1，β2，β3，α1，α2，α3)作初等行變換可得
綜上所述，當(dāng)a≠-1時(shí)，向量組α1，α2，α3與向量組β1，β2，β3可相互線性表示．
23、
(I)求x，y；
(Ⅱ)求可逆矩陣P使得P-1AP=B．
(I)求x，y；
(Ⅱ)求可逆矩陣P使得P-1AP=B．
本題答案：
(I)因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦?，所?br>
(I)因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦?，所?br>